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    幾何中的最短路徑問題-2022安徽公務員考試行測解題技巧
    http://www.100nk.org       2021-04-06      來源:安徽公務員考試網
    【字體: 】              

      幾何問題是近幾年國、聯考中必考的熱門題型,考查頻率越來越高。其中的最短路徑問題考查較多,方法性很強,通過學習可以有良好掌握,學習的性價比很高。下面安徽公務員考試網(www.100nk.org)為大家具體講解如何解決幾何中的最短路徑問題。


      最短路徑問題考查形式通常為求點之間的最短距離,核心解題方法為平面上兩點之間,線段最短。在考試中最短路徑問題主要分為兩大類,平面幾何最短路徑與立體幾何最短路徑。雖然題目有多種問法,但萬變不離其宗,只要知識點掌握牢固、能夠融會貫通,無論如何創新如何結合,我們都可以熟練解決。


      平面幾何最短路徑問題


      1.兩點異側


      題型特征:求在直線異側的兩點之間的最短距離,或在直線異側的兩點到第三點的最短距離之和


      解題方法:兩點之間,線段最短,三點共線時距離之和最短


      例1.【2011聯考】火車站A和B與初始發車站C的直線距離都等于akm,站點A在發車站C的北偏東20度,站點B在發車站C的南偏東40度,若在站點A和站點B之間架設火車軌道,則最短的距離為:


      A. akm


      B. 3akm


      C. 2akm


      D. akm


      【解題思路】如圖所示,根據題意中A在C點北偏東20度和B在C點南偏東40度可知,A、B、C三點構成頂角為120度的等腰三角形,且AB為底邊。過點C做AB的中垂線,交AB于點D。根據勾股定理可得,CD=a,AD=a,則AB=2AD=a,正確答案為D。

     


      【點評】公務員考試中,三角形求邊長常用勾股定理和相似三角形。因此建議各位考生將常見三角形邊長比例熟練記憶,如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本題若變形為C火車站正東建立新火車站D,求AB兩點到D距離之和最短,因三點共線時距離之和最短,直接連接AB即為最短距離和。


      2.兩點同側


      題型特征:求在直線同側的兩點到第三點的最短距離之和


      解題方法:將其中一點鏡像對稱,使三點共線


      例1.【2019浙江】 A、B點和墻的位置如圖所示。現從A點出發以5米/秒的速度跑向墻,接觸到墻后再跑到B點。問最少要多少秒到達B點?

     


      A. 30


      B. 34


      C. 38


      D. 42


      【解題思路】要用最短時間到達B點,在速度一定的情況下,需從A接觸到墻后再跑到B點所走的路程最短。如圖,由于A和B在墻的同側,可考慮做其中一個點關于墻的對稱點,該對稱點與另一個點的連線即為最短路程。假設做A點的對稱點C,最短距離為BC。CD=90米,BD=30+45+45=120米,最短距離BC==150米,則t==30秒,正確答案為A。

     


      【點評】先判斷為同側問題,需要作其中一點的對稱點,再連接另外一點,用勾股定理求解。兩點同側時,對稱哪一個點都可以,但是一般為了計算方便,建議對稱短的那一個。


      例2.【2017聯考】如下圖所示,某條河流一側有A.、B.兩家工廠,與河岸的距離分別為4km和5km,且A.與B.的直線距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水,需要在距離河岸1km處建造一個污水處理廠,分別鋪設排污管道連接A.、B.兩家工廠。假定河岸是一條直線,則排污管道總長最短是:

     


      A. 12km


      B. 13km


      C. 14km


      D. 15km


      【解題思路】如下圖所示,過污水處理廠做河岸的平行線HC,D為A關于HC的對稱點,則最短距離為DB,由題污水廠離河1km可得A點距離到HC為HA=HD=3km,B點距離HC等于EH=4km,則DE=3+4=7km。,所以,正確答案為B。

     


      【點評】本題中題目AB為河流一側,因此為兩點同側。提醒大家注意,若以河為對稱軸,求的點為交點,此時污水處理廠建在河里,因此此題的對稱軸是第三個點所在的水平線,過C作一條沿河岸的平行線,軸距離河岸為1km。計算時若忽略了這一點,將無法求解正確答案。


      立體幾何最短路徑問題


      題型特征:求立體圖形中兩點的最短距離


      解題方法:將立體圖形展開放在同一平面,連線計算


      例1.【2019河北】長、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長方體ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上,有一個螞蟻從A出發沿長方體表面爬行到C_1獲取食物,其路程最小值是多少cm?


      A. 13


      B.


      C.


      D. 17


      由題干螞蟻從A出發沿長方體表面爬行到最短,畫圖可知,在長方體中A和不在同一平面,要求最短距離先要把A和C_1放在同一平面內,則把面翻折,形成面,再連接,根據兩點之間直線最短求解。如下圖:

     


      是直角三角形ABC_1的斜邊,要讓斜邊最短,則兩直角邊的平方和要盡可能小。當AB=12,=4+3=7時,兩直角邊的平方和最小,最短==,正確答案為B。


      【點評】長方體最短路徑問題可直接運用結論,長方體中相對的兩個頂點沿表面走的最短距離為:;最短路徑數為2條,因為長方體存在對立面,每一條路徑都有一條與之相對的路徑,因此有2條。


      例2. 【2013北京】A和B為正方體兩個相對的頂點,一個點從A出發沿正方體表面以最短路徑移動到B,則其可選擇的路線有幾條:


      A. 2


      B. 3


      C. 6


      D. 12


      【解題思路】正方體有3組對立面,如圖可知每一條路線在對立面上都有一條與之對應的路線,因此每組對立面有2條路線,3組對立面共6條路線,正確答案為C。

     


      【點評】若本題為求A到B最短距離,則可將正方體展開,將AB放在同一平面內。連接AB后,AB==邊長。


      正方體最短路徑問題也有有對應結論,小編建議可以直接用結論做題,正方體中相對的兩個頂點最短距離為邊長,最短路徑數為6條。


      以上就是對于幾何中的最短路徑問題的詳細講解。幾何問題在近幾年的國考、聯考及單獨命題省考中每年均有考查,最短路徑問題大家可以看到套路性很強,希望各位考生通過學習均能對此有良好的掌握。



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